命題２３
３つの量があり、他のそれらと等しい個数の量があり、２項と２項を共にとられて同じ比であり、それらの比が入れ替えられるならば、等間隔比により、それらは同じ比でもある。
３つの量A、B、Cがあり、それらと量において等しい他のD、E、Fがあり、それらの２項と２項を共に取られたとき同じ比であるとし、それらの比が入れ替えられるとする。つまりAはBに対し同じようにEはFに対し、そしてBはCに対し同じようにDはEに対する。definitionⅤ．１８
AはCに対し同じようにDはFに対することをいう。
A、B、Dの同倍数G、H、Kを取り、他の、任意の、C、E、Fの同倍数L、M、Nを取る。
GとHはAとBの同倍数であり、部分はそれらの量と同じ比を持つから、それゆえにAはBに対し同じようにGはHに対する。propositionⅤ．１５
同じ理由でEはFに対し同じようにMはNに対する。そしてAはBに対し同じようにEはFに対し、それゆえにGはHに対し同じようにMはNに対する。propositionⅤ．１１
次に、BはCに対し同じようにDはEに対するから、また、交互に、BはDに対し同じようにCはEに対する。（propositionⅤ．１６）
そして、HとKはBとDの同倍数であり、部分はそれらの量と同じ比を持つから、それゆえにBはDに対し同じようにHはKに対する。propositionⅤ．１５
しかしBはDに対し同じようにCはEに対し、それゆえにまた、HはKに対し同じようにCはEに対する。propositionⅤ．１１
再度、LとMはCとEの同倍数であるから、それゆえにCはEに対し同じようにLはMに対する。propositionⅤ．１５
しかしCはEに対し同じようにHはKに対し、それゆえにまた、HはKに対し同じようにLはMに対し、そして、交互に、HはLに対し同じようにKはMに対する。propositionⅤ．１１、（propositionⅤ．１６）
しかしGはHに対し同じようにMはNに対することはまた証明されていた。
３つの量G、H、Lがあり、他のそれらと等しい個数の量K、M、Nがあり、２項と２項を共にとられて同じ比であり、それらの比が入れ替えられるから、それゆえに、等間隔比により、GがLより大きいならばKもまたNより大きく、等しいならば等しく、小さいならば小さい。propositionⅤ．２１
そしてGとKはAとDの同倍数であり、LとNはCとFの同倍数である。
それゆえにAはCに対し同じようにDはFに対する。definitionⅤ．５
それゆえに、３つの量があり、他のそれらと等しい個数の量があり、２項と２項を共にとられて同じ比であり、それらの比が入れ替えられるならば、等間隔比により、それらは同じ比でもある。
証明終了